ESERCITAZIONI

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Lista dei problemi

12. Testo dell'esercizio

Nel triangolo ABC, siano D, E ed F i punti medi dei lati e siano P, Q ed R i punti medi delle mediane AD, BE e CF, rispettivamente, come mostrato in figura.
Dimostrare che il valore di

latex: \large \frac{AQ^2 + AR^2 + BP^2 + BR^2 + CP^2 + CQ^2}{AB^2 + BC^2 + CA^2}

non dipende dal triangolo e trovare tale valore.

Tratto da: International Mathematical Talent Search
Round 32 - problema 5

12. Risoluzione

Una risoluzione che utilizza il metodo delle coordinate viene fornita nel file pdf allegato

Risoluzione trigonometrica

Premettiamo il calcolo della misura della diagonale di un paralleogramma conoscendo i due lati e l'angolo compreso. Per il teorema di Carnot, si ha
latex: \large d^2 = u^2 + v^2 - 2 u v cos(180-\alpha) = u^2 + v^2 + 2 u v cos\alpha

Indichiamo le misure dei lati e degli angoli del triangolo ABC con la consueta notazione goniometrica.

AQ è metà della diagonale del parallelogramma costruito su AB ed AE.
Si ha quindi

latex: \large AQ^2 =\frac{1}{4} \left( \frac{b^2}{4} + c^2 + bc \cos\alpha \right)

Analogamente, si ottiene per gli altri segmenti

latex: \large AR^2 =\frac{1}{4} \left( \frac{c^2}{4} + b^2 + bc \cos\alpha \right)

latex: \large BP^2 =\frac{1}{4} \left( \frac{a^2}{4} + c^2 + ac \cos\beta \right)

latex: \large BR^2 =\frac{1}{4} \left( \frac{c^2}{4} + a^2 + ac \cos\beta \right)

latex: \large CP^2 =\frac{1}{4} \left( \frac{a^2}{4} + b^2 + ab \cos\gamma \right)

latex: \large CQ^2 =\frac{1}{4} \left( \frac{b^2}{4} + a^2 + ab \cos\gamma \right)

Le relazioni vengono addizionate membro a membro.

Per eliminare i termini che contengono gli angoli, si utilizzano le relazioni trigonometriche

latex: \large a \cos\beta + b \cos\alpha = c

latex: \large b \cos\gamma + c \cos\beta = a

latex: \large c \cos\alpha + a \cos\gamma = b

Si ottiene quindi

latex: \large AQ^2 + AR^2 + BP^2 + BR^2 + CP^2 + CQ^2 = \frac{7}{8} \left(a^2 + b^2 + c^2\right)

Il rapporto costante vale quindi latex: \LARGE \frac{7}{8}