ESERCITAZIONI

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Lista dei problemi

19. Testo dell'esercizio

Da un punto esterno P si tracciano le tangenti PA e PB ad una circonferenza. Da un punto Q dell'arco AB (il maggiore o il minore) si tracciano le perpendicolari alle tangenti ed alla corda AB.
Dimostrare che la distanza di Q dalla corda AB è media proporzionale tra le distanze di Q dalle tangenti.
Posamentier,Salkind: Challenging Problems in Geometry (problema 4.3 pag.15)

19. Risoluzione

Si ha latex: \large A\hat{B}Q = Q\hat{A}L perchè insistono sull'arco AQ e latex: \large B\hat{A}Q = Q\hat{B}K perchè insistono sull'arco BQ.
I triangoli rettangoli BQH e AQH sono quindi simili e si ha quindi latex: \large \frac{QK}{BQ}=\frac{QH}{AQ}.
Anche i triangoli rettangoli BQH e AQL sono simili e si ha quindi latex: \large \frac{QH}{BQ}=\frac{QL}{AQ}.
Moltiplicando membro a membro le relazioni, si ottiene
latex: \large \frac{QK}{BQ}\cdot\frac{QL}{AQ}=\frac{QH}{AQ}\cdot\frac{QH}{BQ}.
Da cui
latex: \large QK \cdot QL= QH^2.

Soluzione analitica

19. Tags

» dimostrazione geometria » circonferenza » tangenti » similitudine