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Lista dei problemi

16. Testo dell'esercizio

Sia ABC un triangolo e sia I il centro della sua circonferenza inscritta.
Sia P un punto interno al triangolo tale che

latex: \large P\hat{B}A + P\hat{C}A = P\hat{B}C + P\hat{C}B

Dimostrare che AP ¡Ý AI e che vale l'uguaglianza se e solo se P = I.

Tratto da: International Mathematical Olympiad
12 luglio 2006 - Problema 1

16. Soluzioni

L'ipotesi
latex: \large P\hat{B}A + P\hat{C}A = P\hat{B}C + P\hat{C}B
ed il fatto che
latex: \large P\hat{B}A + P\hat{C}A + P\hat{B}C + P\hat{C}B = A\hat{B}C + B\hat{C}A
implicano che
latex: \large P\hat{B}C + P\hat{C}B = \frac{1}{2}\left( A\hat{B}C + B\hat{C}A \right).
Di conseguenza latex: \large B\hat{P}C ha ampiezza costante al variare di P e P appartiene quindi all'arco di circonferenza luogo dei punti del piano che formano col segmento BC lo stesso angolo.
Dal momento che il centro I della circonferenza inscritta è l'intersezione delle bisettrici, allora
latex: \large I\hat{B}C + I\hat{C}B = \frac{1}{2}\left( A\hat{B}C + B\hat{C}A \right),
allora I è un possibile punto P e quindi l'arco di circonferenza in questione è la circonferenza per B, C ed I.
Dimostriamo che il centro O di tale circonferenza è allineato con A e I.
Poniamo latex: \large A\hat{B}C = \beta.
Si ha
latex: \large A\hat{I}C = \frac{\pi}{2} + \frac{\beta}{2} (proprietà dell'incentro)
latex: \large I\hat{O}C = \beta (angolo al centro che insiste sullo stesso arco IC dell'angolo latex: \large I\hat{B}C = \frac{\beta}{2})
latex: \large O\hat{I}C = \frac{\pi}{2} - \frac{\beta}{2} (triangolo rettangolo generato dall'asse di IC)
Quindi latex: \large A\hat{I}O = \pi

Di conseguenza I è l'unico punto della circonferenza a minor distanza dal vertice A e quindi è vera sia la tesi AP ≥ AI che il fatto che l'uguaglianza è vera se e solo se P coincide con I.


Sono pervenute le soluzioni

16. Tags

» dimostrazione geometria » incentro