ESERCITAZIONI

Sia ABC un triangolo acutangolo con ortocentro H.
La circonferenza con centro il punto medio di BC e passante per H interseca la retta BC in A₁ e A₂.
Analogamente, la circonferenza con centro il punto medio di CA e passante per H interseca la retta CA in B₁ e B₂, e la circonferenza con centro il punto medio di AB e passante per H interseca la retta AB in C₁ e C₂.
Dimostrare che A₁, A₂, B₁, B₂, C₁, C₂ giacciono su una medesima circonferenza.

Premettiamo il Teorema
Se H è l'ortocentro di un triangolo ABC e H₁, H₂ e H₃ sono i piedi delle altezze, allora
CH · HH₁ = BH · HH₃ = AH · H₂ (*)

Una dimostrazione
Considerando la circonferenza circoscritta e prolungate le altezze fino ad intersecarla in A', B' e C' si ha
CH · HC' = BH · HB' = AH · HA' (**)
(potenza di H rispetto la circonferenza)
Ma H₁C' = HH₁ (e relazioni analoghe per le altre altezze). Per dimostrarlo, è sufficiente dimostrare che gli angoli AC'H₁ e AHH₁ sono congruenti.
Lo sono perchè sono entrambi congruenti all'angolo interno in B.
Quindi HC' = 2HH₁ (***)

La relazione (*) segue da (**) sostituendo (***) e dividendo per 2.

Dimostrazione di IMO 2008

La circonferenza cercata è concentrica a quella circoscritta: il suo centro deve stare sugli assi dei lati di ABC, perchè deve essere equidistante da A₁ e A₂; da B₁ e B₂; da C₁ e C₂.
E le tre coppie di punti hanno lo stesso asse dei lati del triangolo.
Dimostriamo che la distanza tra il circocentro O del triangolo ABC e uno qualunque dei punti A₁, A₂, B₁, B₂, C₁, C₂ è costante (dato il triangolo).
Consideriamo la circonferenza di diametro il lato AB. Questa passa per H₂ e si ha
AH · HH₂ = AP² - HP²(°)
(potenza di H rispetto alla circonferenza: P è il centro e AP è il raggio)
Ne segue

nel terzo passaggio si è usato (°)
Poichè OA è il raggio della circonferenza circoscritta al triangolo ed il prodotto AH · HH₂ è costante se si cambia lato e altezza (per la (*)), ne segue che ripetendo lo stesso calcolo per OB₁ e OA₁ si ottengono quantità uguali.

Un'altra dimostrazione