ESERCITAZIONI

Nel triangolo ABC, i segmenti PQ, RS e TU sono paralleli ai lati AB, BC e CA, rispettivamente, e si intersecano nei punti X, Y e Z, come mostrato in figura.
Determinare l'area di ABC se ciascuno dei segmenti PQ, RS e TU divide l'area di ABC in due parti equivalenti e se l'area del triangolo XYZ č una unitā.
La risposta deve essere data nella forma dove a e b sono numeri interi positivi.

Tratto da: International Mathematical Talent Search
Round 38 - problema 5

Se un segmento PQ è parallelo al lato AB di un triangolo e lo divide in due parti equivalenti, allora, poichè la parte triangolare PQC è simile al triangolo ABC, il rapporto di similitudine deve soddisfare la seguente relazione con le aree dei triangoli

Poichè il rapporto tra le aree deve essere uguale a allora deve essere

Poichè lo stesso succede con gli altri lati TU ed SR, allora i triangoli PQC, UTB e ARS, essendo simili ad ABC con lo stesso rapporto, sono congruenti, e perciò AR=UB=PQ.

Detto AB = a, deve essere

Di conseguenza, .

Ne segue che .

E quindi è il rapporto di similitudine tra i triangoli XYZ e ABC.

Ne segue che tra le aree si ha

Poichè l'area del triangolo XYZ è una unità, allora si ha